01. Sorolja fel a logikai jeleket.
    ¬: "nem", ∧: "és", ∨: "vagy", ⇒: "ha…akkor", ⇔: "akkor és csak akkor" illetve két kvantor ∃: "létezik", ∀: "minden"
02. Fogalmazza meg az unió és a metszet disztributivitását.
    A, B, C halmazok
    1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C): "a metszet disztributivitása az unióra nézve"
    2) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C): "az unió disztributivitása a metszetre nézve"
03. Definiálja a rendezés, a rendezett halmaz és a lánc fogalmát.
    rendezés: ha egy X-beli reláció részben rendezés (≤: reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív) és gyengén trichotom
    rendezett halmaz: (X,≤) pár
    lánc: X részben rendezett halmazban Y részhalmaza is rendezett ≤ ∩ (Y ⨉ Y) -re akkor "lánc"
04. Adjon példát jólrendezett halmazra.
    A természetes számok (ℕ) halmaza jólrendezett
05. Definiálja tetszőleges halmazcsalád Descartes-szorzatát és ismertesse a kapcsolódó jelöléseket.
    Xi, i ∈ I halmazcsalád
    ⨉i∈I Xi≔{x:xi, i∈I olyan család, amelyre xi∈Xi minden i∈I-re}
06. Igaz-e, hogy egy egységelemes félcsoportban egy elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik?
    Igen, mert tegyük fel hogy nem, ekkor:
    Legyen x≠0 ∈ R és a nem kommutatív binér művelet legyen a multiplikativitás, ahol
    x⋅(x1)-¹=e és x⋅(x2)-¹=e, ebből következik hogy x⋅(x1)-¹=x⋅(x2)-¹ ami csak akor igaz, ha (x1)-¹=(x2)-¹ így x1=x2, tehát az inverz elem egyértelmű.
07. Mikor mondjuk, hogy egy binér reláció kompatibilis egy osztályozással? Adjon ekvivalens megfogalmazást, és definiálja a relációt az osztályok között.
    R egy X-beli binér reláció, adott X egy osztályozása illetve a megfelelő ∼ ekvivalenció-reláció
    Azt mondjuk, hogy az R reláció kompatibilis az osztályozással vagy az ekvivalencia-relációval, ha:
    x ∼ x', y ∼ y' esetén xRy -ból következik x'Ry'
    Az ekvivalenciareláció tulajdonságai miatt nyilván elég, hogy xRy -ból x'Ry és xRy' következzen
    Ha R reláció kompatibilis az osztályozással, akkor az ekvivalenciaosztályoknál:
    ∼                      ∼             ∼∼∼                               ∼
    X-en bevezethetünk egy R relációt az xRy (xRy definícióval), általában R helyett R-et írunk
08. Definiálja a valós számokat.
    Axiomatikus definíció:
    A valós számok (jelölése: ℝ) testet alkotnak
    A valós számok egy jólrendezett (≥) test, tehát tetszőleges három valós szám transitív és trichotóm valamint additív és multiplikatív tulajdonságú
    ℝ minden felülről korlátos nemüres részhalmazának van szuprémuma (felső korlátja)
09. Adja meg az i, j, k kvaterniók „szorzótábláját‟.
    Legen a kvaternió A=a+b⋅i+c⋅j+d⋅k ahol a,b,c,d ∈ ℝ valamint i,j,k képzetes egységek
    ⋅| 1  i  j  k
    -+-----------
    1| 1  i  j  k
    i| i -1  k -j
    j| j -k -1  i
    k| k  j -i -1
10. Definiálja egységelemes integritási tartományban az oszthatóságot és adja meg a jelölését.
    ℝ egy egységelemes integritási tartomány
    Legyen a,b ∈ ℝ, ekkor b osztója a-nak illetve a többszöröse b-nek, van olyan c ∈ ℝ, hogy a = bc, jelölése b|a (a=b=0 kivéve csak egy ilyen c létezik)
11. Ismertesse Erathoszthenész szitáját.
    Ha adott n-ig az összes prímet meg akarjuk találni a következő eljárás használható:
    Felírjuk 2-től n-ig a számokat, majd rendre kihúzzuk az első prím (a 2-es) valódi többszöröseit, mert ezek összetettek.
    A megmaradtak közül vegyük az elsőt, a 3-ast, - így ez prím - és húzzuk most ki ennek a valódi többszöröseit, mert ezek is összetettek.
    Ezt a véges eljárást folytatva, legfeljebb n-ig, megkapjuk az összes prímszámot 1 és n között.
12. Fogalmazza meg a kiválasztási axiómát.
    Nem üres halmazok nem üres családjának a szorzata nem üres.
    Ha A, nemüres halmazok valamely halmaza, akkor ∀X ∈ A : f(X) ∈ X (f az A-ba képező függvény)
# BIZONYÍTÁSOK
13. Fogalmazza meg a halmazok metszetének kommutativitását, asszociativitását és idempotenciáját és bizonyítsa be.
    A, B, C halmazok:
    A ∩ B = B ∩ A (kommutativitás)
    A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asszociativitás)
    A ∩ A = A (idempotencia)
       Definícióból A ∩ B = {x | x∈A és x∈B}
       így A ∩ B = {x | x∈A és x∈B} illetve B ∩ A = {y | y∈B és y∈A}, tehát x halmaz = y halmaz
       A ∩ (B ∩ C) = {x | x∈A és x∈B, x∈C} illetve (A ∩ B) ∩ C = {y | y∈A, y∈B és y∈C}, tehát x halmaz = y halmaz
       A ∩ A = {x | x∈A} illetve A = {y | y∈A}, tehát x halmaz = y halmaz
14. Fogalmazza meg gyűrűben a nullával való szorzás tulajdonságait és az előjelszabályt és bizonyítsa be őket.
    Tetszőleges gyűrűben x⋅0=x⋅(0+0)=x⋅0+x⋅0 mindkét oldalhoz hozzáadva -x⋅0 -ból x⋅0=0 következik, hasonlóan 0⋅x=0
       (R, +, ⋅) gyűrű, tehát az összeadásra Ábel-csoport (nullelem: 0), szorzásra félcsoport és mindkét oldali disztributivitás teljesül:
       x,y,z ∈ ℝ, x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z és (y+z)⋅x=y⋅x+z⋅x
    Előjelszabály: (-x)⋅y=x⋅(-y)=-x⋅y és (-x)⋅(-y)=x⋅y
       Például x⋅y+(-x)⋅y=(x+(-x))⋅y=0⋅y=0, az inverz egyértelműsége miatt (-x)⋅y=-x⋅y, hasonlóan a többi
15. Fogalmazza meg a logikai szita formulát és bizonyítsa be.
    Legyenek X1, X2, …, Xn az X véges halmaz részhalmazai, f az X-en értelmezett Ábel-csoportba képező függvény
    1≤i1<i2<…<ir≤n, Yi1,i2,…,ir=Xi1∩Xi2∩…∩Xir
    S=∑x∈X f(x), Sr=∑1≤i1<i2<…<ir≤n ∑x∈Yi1,i2,…,ir f(x), S0=∑x∈X\∪ⁿi=1Xi f(x)
    S0=S-S1 + S2-S3 + … + (-1)ⁿSn
       Ha x∈X\∪ⁿi=1Xi, akkor f(x) mindkét oldalon egyszer szerepel
       X1, X2, …, Xn tartalmazzák x-et, bal oldalon nincs f(x), jobb oldalon valamely ∑x∈Yi1,i2,…,ir f(x) összegben f(x) pontosan akkor lép fel, ha {i1,i2,…,ir}⊂{j1,j2,…,jt}
       r>t esetén nincs ilyen, r≤t -nek (t r), így f(x) együtthatója ∑t r=0 (t r) (-1)^r=0