Determinant of a 5x5 matrix


        | A11 A12 A13 A14 A15 |
        | A21 A22 A23 A24 A25 |
    det | A31 A32 A33 A34 A35 |
        | A41 A42 A43 A44 A45 |
        | A51 A52 A53 A54 A55 |

 Multiply these diagonals, add them together

          A11 A12 A13 A14 A15 A11 A12 A13 A14
             \   \   \   \   \
          A21 A22 A23 A24 A25 A21 A22 A23 A24
                 \   \   \   \   \
          A31 A32 A33 A34 A35 A31 A32 A33 A34
                     \   \   \   \   \
          A41 A42 A43 A44 A45 A41 A42 A43 A44
                         \   \   \   \   \
          A51 A52 A53 A54 A55 A51 A52 A53 A54

 Multiply these diagonals, multiply each by -1 and add them together

          A11 A12 A13 A14 A15 A11 A12 A13 A14
                         /   /   /   /   /
          A21 A22 A23 A24 A25 A21 A22 A23 A24
                     /   /   /   /   /
          A31 A32 A33 A34 A35 A31 A32 A33 A34
                 /   /   /   /   /
          A41 A42 A43 A44 A45 A41 A42 A43 A44
             /   /   /   /   /
          A51 A52 A53 A54 A55 A51 A52 A53 A54

 Add both of those results together to get something like

  A11*A22*A33*A44*A55 + A12*A23*A34*A45*A51 ... - A15*A24*A33*A42*A51 ...